Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Дан прямоугольник $ABCD$ площади 2. Пусть $P$ — точка на стороне $CD$, а $Q$ — точка, в которой вписанная окружность $\triangle PAB$ касается стороны $AB$. Произведение $PA \cdot PB$ зависит от $ABCD$ и $P$. При достижении произведением $PA \cdot PB$ наименьшего возможного значения,
а) докажите, что $AB \geq 2BC$;
б) найдите значение выражения $AQ \cdot BQ$.

Комментарий/решение

$PA \cdot PB = \frac {AB \cdot BC}{\sin \widehat{APB}}$ минимальна когда $\sin \widehat{APB}$ максимальна или когда $\angle APB$ прямой, и тогда $PA \cdot PB = AB \cdot BC = 2.$

Для этого окружность с диаметром $AB$ должна касаться или же пересекать $CD,$ поэтому $AB \ge 2 BC.$ С прямым углом $\angle APB,$

$AQ \cdot BQ = \frac {_1}{^4}(AB + PA - PA)(AB + PB - PA) =$

$= \frac {1}{4}\left(AB^2 - (PA - PB)^2\right) = \frac {1}{2}PA \cdot PB = 1$