Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Дан прямоугольник $ ABCD$ площади 2. Пусть $ P$ — точка на стороне $ CD$, а $ Q$ — точка, в которой вписанная окружность $ \triangle PAB$ касается стороны $ AB$. Произведение $ PA \cdot PB$ зависит от $ ABCD$ и $ P$. При достижении произведением $ PA \cdot PB$ наименьшего возможного значения,
а) докажите, что $ AB \geq 2BC$;
б) найдите значение выражения $ AQ \cdot BQ$.

Комментарий/решение

$ PA \cdot PB = \frac {AB \cdot BC}{\sin \widehat{APB}}$ минимальна когда $ \sin \widehat{APB}$ максимальна или когда $ \angle APB$ прямой, и тогда $ PA \cdot PB = AB \cdot BC = 2.$

Для этого окружность с диаметром $ AB$ должна касаться или же пересекать $ CD,$ поэтому $ AB \ge 2 BC.$ С прямым углом $ \angle APB,$

$ AQ \cdot BQ = \frac {_1}{^4}(AB + PA - PA)(AB + PB - PA) =$

$ = \frac {1}{4}\left(AB^2 - (PA - PB)^2\right) = \frac {1}{2}PA \cdot PB = 1$