Математикадан аудандық олимпиада, 2017-2018 оқу жылы, 11 сынып

Айбек дұрыс алтыбұрыштың ішіне бір нүктені белгілеп, оны кесінділермен әр төбемен қосты. Алынған алты үшбұрышты кезекпен екі түске бояды -қызыл және жасыл. Қызыл үшбұрыштарды аудандарының қосындысы жасыл үшбұрыштардың аудандарының қосындысына тең екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть шестиугольник ABCDEF разбит на три зеленых треугольника AOB, COD, EOF и три красных треугольника BOC,DOE, AOF, где О-заданная точка. Так как шестиугольник правильный, то сумма площадей красных треугольников равна S=(OK+OL+OM)*AB/2, где OK, OL и OM-высоты треугольников BOC,DOE и AOF, а сумма площадей зеленых треугольников равна S1=(OP+OS+OT)*AB/2, где OP, OS и OT- высоты треугольников AOF, COD и EOF. Правильный шестиугольник ABCDEF получается при пересечении двух равных правильных треугольников с общим центром тяжести и параллельными основаниями. Если рассмотреть точку О как точку, лежащую внутри правильного треугольника, то сумма расстояний от точки О до сторон треугольника не зависит от выбора точки, то есть является постоянной величиной. Тогда имеем: OP+OS+OT=const. Аналогично, рассматривая второй треугольник, получим: OK+OL+OM=const1. В силу равенства треугольников const=const1, следовательно S=S1, что и требовалось доказать.

$ABCDEF$ дұрыс алтыбұрыш. Боялған бөліктегі үшбұрыштар биіктігін $h_1, h_3, h_5$, ал боялмаған бөліктегі биіктіктерді сәйкесінше $h_2, h_4, h_6$ деп, ал дұрыс алтыбұрыш қабырғасын $a$-деп белгілейік. Сонда біз

$\frac{a(h_1+h_3+h_5)}{2}$=$\frac{a(h_2+h_4+h_6)}{2}$ екенін дәлелдеу керек.

$DE, AF, BC$ қабырғаларын бір бірімен қиылысқанша созамыз. $AF және BC$ қабырғалары $A_1$, $BC және DE$ қабырғалары $B_1$, $DE және AF$ қабырғалары $C_1$ нүктелерінде қиылысуын. Нәтижесінде $A_1B_1C_1$ тең қабырғалы үшбұрышы пайда болады. Себебі, дұрыс алтыбұрыштың әр ішкі бұрышы $120^\circ$-тан. Әр сыртқы бұрышы $60^\circ$-тан. Сонда $\triangle A_1AB, \triangle B_1CD, \triangle C_1EF$ табанындағы бұрыштары $60\circ$ болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Ал мұндай үшбұрыштар әрі теңқабырғалы болады. Осы теңқабырғалы үшбұрыштарды ескерсе отырып $\triangle A_1B_1C_1$ тең қабырғалы екендігі шығады.

$A_1B_1C_1$ теңқабырғалы үшбұрыш қабырғасын $b$-деп белгілейік. $b=3a$ Сонда $S_(A_1B_1C_1)=\frac{3a(h_1+h_3+h_5)}{2}$

Дәл солай $AB және CD, CD және EF, AB және EF$ қабырғаларының созындысының қиылысуын сәйкесінше $A_2,B_2,C_2$ деп белгілейміз. Бұл үшбұрыш та жоғарыда айтылған үшбұрыш сияқты тең қабырғалы болады. Ал қабырғасы $c=3a$. оның ауданы $S_(A_2B_2C_2)=\frac{3a(h_2+h_4+h_6)}{2}$

$b=3a, c=3a$ болғандықтан $S_(A_1B_1C_1)$=$S_(A_2B_2C_2)$ Ал бұл теңдіктен дәлелдеу керек теңдік шығады. Д.К.О.