Математикадан аудандық олимпиада, 2017-2018 оқу жылы, 11 сынып

$ABCD$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған. $AC$ және $BD$ диагоналдары перпендикуляр және $O$ нүктесінде қиылысады. $O$ нүктесінен $AB$ қабырғасына $OP$ перпендикуляры жүргізілді. Егер $AD=2,$ $AB=1$ және $\angle CDB=30{}^\circ $ болса, $OQ$-ды табыңыз.

Комментарий/решение

Если $ \angle CDB = 30^{\circ}$ и $\angle (AC,BD)=90^{\circ}$ , тогда $\angle DCA = \angle DBA = 60^{\circ} $ , по условию $OP \perp AB $ тогда $\angle BOP = \angle QOD = \angle CDB = 30^{\circ}$ , аналогично $\angle AOY = \angle QOC = 60^{\circ}$ , значит $OQ=\frac{CD}{2}$. По теореме Пифагора найдем $DO=\frac{\sqrt{13}}{2}$, так как $\Delta EQC$-равносторонний ,$OC=OQ=QC=x$ , то той же теореме $CD^2-OC^2=DO^2$ или $(2x)^2-x^2=\frac{13}{4}$ откуда $x=\sqrt{\frac{13}{12}}$.