Математикадан аудандық олимпиада, 2017-2018 оқу жылы, 10 сынып
f(x)=x2−1 теңдеуін шешіңіз, мұндағы f(x) – функциясы, R-де анықталған және барлық x∈R үшін мына шартты қанағаттандырады: 3f(x)+f(−x)={x,x≤0,5x,x>0.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если x⩽, тогда получим \left\{\begin{array}{rcl}3f(x)+f(-x)&=&x,\\3f(-x)+f(x)&=&-5x;\end{array}\right. откуда f(x)=x.
Если x > 0, тогда получим \left\{\begin{array}{rcl}3f(x)+f(-x)&=&5x,\\3f(-x)+f(x)&=&-x;\end{array}\right. откуда f(x)=2x.
Значит, f(x)=\begin{cases}x,&x \leqslant 0;\\ 2x,&x>0.\end{cases}
Тогда решением уравнения f(x)=x^2-1 будут числа \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} и 1+\sqrt{2}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.