Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$m$-ның барлық бүтін сандарын табыңыз, егер $3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0$ теңдеуінің барлық үш шешімі рационал сан болса.

Комментарий/решение

Теңдеудің екі жағын 3 ке бөлеміз:

Cонда $x^3-x^2+\frac{m}{3}=0.$

Үшінші дәрежелі теңдеу үшін Виет теоремасы бойынша:

$\left\{ \begin{gathered} x_{1}+x_{2}+x_{3}= 1,\\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}= 0, \\ x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{m}{3}. \\ \end{gathered} \right.$

$1=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^2=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2(\underset{0}{\underbrace{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}}})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}.$

Коши теңсіздігі бойынша: $1=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geq 3\sqrt[3]{x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{m^{2}}{9}}.$

$\left ( \frac{1}{3} \right )^3\geq \frac{m^{2}}{9}\Rightarrow m^{2}\leq \frac{1}{3}.$

$m$ бүтін сан болғандықтан тек қана $m=0$ болады.

Жауабы: $m=0.$