Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)
ABC үшбұрышында BC қабырғасынан 2XY=BC болатындай X және Y нүктелері белгіленген (X нүктесі B және Y нүктелерінің арасында). AA′ кесіндісі AXY үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің диаметрі. AX түзуі BC түзуіне B нүктесінде жүргізілген перпендикулярды P, ал AY түзуі BC түзуіне C нүктесінде жүргізілген перпендикулярды Q нүктесінде қияды. A′ нүктесінен AXY үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге жүргізілген жанама APQ үшбұршына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
При гомотетии в центре A и коэффициентом 2: △XYA′→△EFD.
Достаточно установить, что D∈(APQ), а для этого достаточно проверить, что PEQF=EDDF. H - проекция A на BC. Б.О.О. AC>AB.
EDDF=sin∠EADsin∠FAD=sin∠YAHsin∠XAH,PEQF?=sin∠YAHsin∠XAH.
PEQF=PX−XAAY−TQ=AX(BXXH−1)AY(1−CYYH)?=sin∠YAHsin∠XAH.
AX(BXXH−1)sin∠XAH?=AY(1−CYYH)sin∠YAH,
BX−XH?=YH−CY⇔BC2=BX+CY?=XH+YH=BC2,
где последнее истинно.
можете сказать что за точки E,F,D вы использовали в своем решении?
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.