Processing math: 48%

Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)


Теңбүйірлі ABC (AB=AC) үшбұрышы берілген. l түзуі A нүктесі арқылы өтетін және BC-ға параллель түзу. Dl түзуінде кез келген белгіленген нүкте болсын. E және F нүктелері A нүктесінен сәйкесінше BD және CD түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары. P және Q нүктелері сәйкесінше E және F нүктелерінен l-ге түсірілген перпендикулярлар табандары. AP+AQ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2 года 6 месяца назад #

Суретін салдым енді өздерің қарап түсініп алыңдар

Есептің мәтінінде көрсетілгендей AP+PQ ⩽ АВ ∎

  3
5 месяца 26 дней назад #

По теореме Евклида: AE^2=AP*AD , AF^2=AQ*AD

(!) AB*AD \geq (AP+AQ)*AD=AE^2 + AF^2

\sin \angle ABE * AB=AE=\sin \angle ADE * AD \Rightarrow

AE^2=AB*AD* \sin \angle ABE * \sin \angle ADE

\sin \angle ACF * AC=AF=\sin \angle ADF * AD \Rightarrow

AF^2=AC*AD* \sin \angle ACF * \sin \angle ADF

Заменим в неравенстве AE^2 и AF^2 и поделим на AB*AD. Тогда достаточно доказать:

(!) \sin \angle ABE * \sin \angle ADE + \sin \angle ACF * \sin \angle ADF \leq 1

(!) \cos (\angle ABE - \angle ADE) - \cos (\angle ABE + \angle ADE) + \cos (\angle ACF - \angle ADF) - \cos (\angle ACF + \angle ADF) \leq 2

(!) \cos (\angle ABE - \angle ADE) + \cos (\angle ACF - \angle ADF) - (\cos \angle ABC + \cos (180^\circ - \angle ACB)) \leq 2

Очевидно \cos \angle ABC + \cos (180^\circ - \angle ACB)=0 так как AB=AC.Значит:

(!) \cos (\angle ABE - \angle ADE) + \cos (\angle ACF - \angle ADF) \leq 2

А это верно потому что \cos \alpha \leq 1 , для любого угла \alpha.

  1
5 месяца 26 дней назад #

Хорошое решение!