Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)
Комментарий/решение:
По теореме Евклида: AE^2=AP*AD , AF^2=AQ*AD
(!) AB*AD \geq (AP+AQ)*AD=AE^2 + AF^2
\sin \angle ABE * AB=AE=\sin \angle ADE * AD \Rightarrow
AE^2=AB*AD* \sin \angle ABE * \sin \angle ADE
\sin \angle ACF * AC=AF=\sin \angle ADF * AD \Rightarrow
AF^2=AC*AD* \sin \angle ACF * \sin \angle ADF
Заменим в неравенстве AE^2 и AF^2 и поделим на AB*AD. Тогда достаточно доказать:
(!) \sin \angle ABE * \sin \angle ADE + \sin \angle ACF * \sin \angle ADF \leq 1
(!) \cos (\angle ABE - \angle ADE) - \cos (\angle ABE + \angle ADE) + \cos (\angle ACF - \angle ADF) - \cos (\angle ACF + \angle ADF) \leq 2
(!) \cos (\angle ABE - \angle ADE) + \cos (\angle ACF - \angle ADF) - (\cos \angle ABC + \cos (180^\circ - \angle ACB)) \leq 2
Очевидно \cos \angle ABC + \cos (180^\circ - \angle ACB)=0 так как AB=AC.Значит:
(!) \cos (\angle ABE - \angle ADE) + \cos (\angle ACF - \angle ADF) \leq 2
А это верно потому что \cos \alpha \leq 1 , для любого угла \alpha.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.