4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, вторая лига, 9-10 классы

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Произвольная прямая, проходящая через $B$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Точки $E$ и $F$ выбраны на $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно так, что $CE=CB$ и $BD=DF$. Пусть $BF$ пересекает $\omega_1$ в точке $P$, а $BE$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Сделаем инверсию в точке $B$. Тогда получаем: $(AECP)$ , $(AFDQ)$ , $(BCD)$, $(BFP)$, $(BEQ)$ - прямые. До инверсии $\angle CBE = \angle CEB$ и $\angle DFB=\angle DBF$, значит после инверсии $\angle CBE = \angle BCE$ и $\angle FDB=\angle FBD$. Тогда нужно доказать, что после инверсии $B,A,P,Q$ - лежат на одной окружности. $\angle PBQ=\angle FBD + \angle DBQ=\angle FDB + \angle EBC$, $\angle PAQ = \angle ECB + \angle FDB$, как внешний для треугольника $ACD$. Исходя из этого $\angle PBQ = \angle PAQ$, и очевидно, что до и после инверсии $P,Q$ - лежали на одной полуплоскости от $AB$, значит $B,A,P,Q$ - лежат на одной окружности и $A,P,Q$ до инверсии лежат на одной прямой.