Леонард Эйлер атындағы X олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

Қабырғасы 100 болатын квадратты кіші квадраттарға бөлген (кіші квадраттар тең болуы міндетті емес). Кіші квадраттардың қабырғалары 10-нан кіші және бас-тапқы квадраттың қабырғаларына параллель. Кіші квадраттардың периметрлері-нің қосындылары 4400-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Проведём 11 параллельных отрезков, два из которых являются сторонами квадрата $100 \times 100$, а остальные девять делят этот квадрат на прямоугольники $10 \times 100$. Тогда каждый квадрат нашего разрезания пересекается ровно с одним из этих отрезков по отрезку, равному своей стороне. Значит, сумма сторон квадратов разрезания не меньше, чем $11 \cdot 100 = 1100$, а сумма периметров — не меньше, чем $1100 \cdot 4 = 4400$.

Чтобы доказать, что сумма периметров НЕ МЕНЬШЕ 4400, то для этого надо взять самый наибольшее значение стороны. В этом случае это 9, т.к считая с 1 до 9 количество квадратов будет 10.

Площадь всего квадрата равна 100*100=10000

Всего можно уместить квадратов со стороной 9:

10000/9≈123

Тогда общий периметр будет равен 123*36=4428

(умножаем на 36 потому, что Р=9*4=36)

Отсюда 4428>4400

Очевидно, что и для остальных периметр будет не меньше 4400

Сторона квадрата может быть не целой