Леонард Эйлер атындағы X олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

Бір-біріне тең емес 20-дан аспайтын натурал $a$ және $b$ сандарының барлық жұп-тары үшін Петя тақтаға $y = ax+b$ түзуін сызды (яғни ол $y = x+2$, $\ldots,$ $y = x+20,$ $y = 2x+1,$ $y = 2x+3,$ $\ldots,$ $y = 2x+20,$ $\ldots,$ $y = 3x+1,$ $y = 3x+2,$ $y = 3x+4,$ $\ldots,$ $y = 3x+20,$ $\ldots,$ $y = 20x+1,$ $\ldots,$ $y = 20x+19$ түзулерінің барлығын сызды). Ал Вася сол тақтада, центрі координаттар басында орналасқан, радиусы 1 болатын шеңбер сызды. Петя сызған түзулердің қаншасы Вася сызған шеңберді қияды? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 190.
Решение. График $y = ax+b$ пересекает оси координат в точках $A(-b/a, 0)$ и $B(0, b).$ Если $b < a,$ точка $A$ находится внутри Васиной окружности, и потому график $y = ax+b$ пересекает её. Нетрудно подсчитать, что Петиных прямых, у которых $b < a$, имеется $19+18+ \ldots +2+1 = 190.$
Рассмотрим теперь случай, когда $b > a.$ Тогда точки $K(-1, 0)$ и $N(0, 1)$ находятся на катетах треугольника $OAB$, где $O$ — начало координат, а точка $M(-1, 1)$ находится внутри этого треугольника, так как $a \cdot (-1)+b = b-a \ge 1.$ Таким образом, угол $KMN$ целиком лежит ниже прямой $y = ax+b$, и Васина окружность не пересекается с этой прямой, так как целиком содержится в угле $KMN$.
Итак, Петина прямая пересекается с Васиной окружностью тогда и только тогда, когда $b < a$, откуда и получается ответ.
Замечание. Доказать, что при $b > a$ Петина прямая не пересекается с Васиной окружностью, можно и по-другому. Пусть $h$ --- высота треугольника $OAB$, опущенная из вершины $O$. Тогда $h \cdot AB = OA \cdot OB$ $h\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}=\frac{{{b}^{2}}}{a},$ откуда $h=\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}>\frac{b}{a+1}\ge 1,$ то есть расстояние от начала координат до Петиной прямой больше 1, откуда и следует искомое.

1+2+3+.........+18+19=190