Леонард Эйлер атындағы X олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

$ABC$ үшбұрышының $BD$ биссектрисасы жүргізілген. $DE$ және $DF$ кесінділері сәйкесінше $ABD$ және $CBD$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $EF \parallel AC$ екені белгілі болса, $DEF$ бұрышын табыңыздар. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 45 градусов.
Решение. Пусть отрезки $BD$ и $EF$ пересекаются в точке $G$. Из условия имеем $\angle EDG = \angle EDA = \angle DEG$, откуда $GE = GD$. Аналогично, $GF = GD$. Значит, $GE = GF$, то есть $BG$ — биссектриса и медиана, а значит, и высота в треугольнике $BEF$. Отсюда $DG$ — медиана и высота, а значит, и биссектриса в треугольнике $EDF$, откуда $\angle DEG = \angle EDG = \angle FDG = \angle GFD$. Поскольку сумма четырёх входящих в последнее равенство углов равна 180 градусам, каждый из них равен 45 градусам.

45