Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

$p$ параметрінің барлық мәнін табыңыз, егер мына теңсіздікті ${{x}^{2}}-\pi x+p < 0$ қанағаттандыратын тура 2002 бүтін $x$ бар болса.

Комментарий/решение

Чтобы существовало ровно $2002$ целых решений неравенства, нужно, чтобы $2002 <x_2-x_1 <2004$; нули неравенства $x_1=\dfrac {\pi+ \sqrt {\pi^2-4p}}{2}$ и $x_2=\dfrac {\pi -\sqrt {\pi^2-4p}}{2}$ . Разность иксов равна $x_2-x_1=\sqrt {\pi^2-4p}$ . Теперь решим двойное неравенство $2002 <\sqrt {\pi^2-4p}<2004$,которому удовлетворяют все $p\in (\dfrac {\pi^2}{4}-1004004;\dfrac {\pi ^2}{4}-1002001)$. Это и есть ответ задачи.