Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год

Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — неотрицательные действительные числа и $S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i $ $(1\le k\le n)$. Докажите неравенство $$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$$

Комментарий/решение

Используя $(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2 = a_{1}^2+a_{2}^2+...+2(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+...a_{n-1}a_{n})$ $(1)$

Можно убедиться что

$2 \cdot \left ( \sum\limits_{i=1}^{n} \left (a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right) - (a_{1}^4+a_{2}^4+...a_{n}^4+a_{1}^2a_{2}^2+a_{1}^2a_{3}^2+...a_{n-1}^2 a_{n}^2 \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2 -(a_{1}^4+a_{2}^4+...a_{n}^4+a_{1}^2a_{2}^2+a_{1}^2a_{3}^2+...a_{n-1}^2a_{n}^2)$

Достаточно представить $a_{1}^4+a_{2}^4+...a_{n}^4+a_{1}^2a_{2}^2+a_{1}^2a_{3}^2+...a_{n-1}^2a_{n}^2 = a_{1}^2(a_{1}^2+...+a_{n}^2)+a_{2}^2(a_{2}^2+...+a_{n}^2)+...a_{n}^4$

и для левой и правой части так же используя $(1)$ в правой части и перегруппировывая слагаемые получим требуемое.

Значит получаем что разность будет состоять только из положительных слагаемых, из условия $a_{1},a_{2},...,a_{n} \geq 0$ получаем что разность будет неотрицательна