Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год
Пусть a1,a2,…,an — неотрицательные действительные числа и Sk=k∑i=1ai (1≤k≤n). Докажите неравенство n∑i=1(aiSin∑j=ia2j)≤n∑i=1(aiSi)2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Используя (a1+a2+...+an)2=a21+a22+...+2(a1a2+a1a3+...an−1an) (1)
Можно убедиться что
2⋅(n∑i=1(aiSin∑j=ia2j)−(a41+a42+...a4n+a21a22+a21a23+...a2n−1a2n)=n∑i=1(aiSi)2−(a41+a42+...a4n+a21a22+a21a23+...a2n−1a2n)
Достаточно представить a41+a42+...a4n+a21a22+a21a23+...a2n−1a2n=a21(a21+...+a2n)+a22(a22+...+a2n)+...a4n
и для левой и правой части так же используя (1) в правой части и перегруппировывая слагаемые получим требуемое.
Значит получаем что разность будет состоять только из положительных слагаемых, из условия a1,a2,...,an≥0 получаем что разность будет неотрицательна
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.