Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год


Пусть a1,a2,,an — неотрицательные действительные числа и Sk=ki=1ai (1kn). Докажите неравенство ni=1(aiSinj=ia2j)ni=1(aiSi)2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
1 года 4 месяца назад #

Используя (a1+a2+...+an)2=a21+a22+...+2(a1a2+a1a3+...an1an) (1)

Можно убедиться что

2(ni=1(aiSinj=ia2j)(a41+a42+...a4n+a21a22+a21a23+...a2n1a2n)=ni=1(aiSi)2(a41+a42+...a4n+a21a22+a21a23+...a2n1a2n)

Достаточно представить a41+a42+...a4n+a21a22+a21a23+...a2n1a2n=a21(a21+...+a2n)+a22(a22+...+a2n)+...a4n

и для левой и правой части так же используя (1) в правой части и перегруппировывая слагаемые получим требуемое.

Значит получаем что разность будет состоять только из положительных слагаемых, из условия a1,a2,...,an0 получаем что разность будет неотрицательна