Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы


В окружность ω с центром O вписан правильный треугольник ABC. Пусть P — точка дуги BC. Касательная прямая к ω в точке P пересекает продолжения прямых AB и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что KOL>90.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
2 года 5 месяца назад #

1)Факт: косинус острого угла больше 0. Напротив, если угол тупой, его косинус меньше 0.

2)Рассмотрим скалярное произведение векторов OK и OL

OKOL=|OK||OL|cosKOL

Длины отрезков неотрицательны, а значит, скалярное произведение и косинус угла имеют одинаковый знак. То есть, если покажем, что OKOL<0, то из этого сразу же следует cosKOL<0, а из этого - то, что KOL>90

3)Введем систему координат как на рисунке. Тогда координаты будут:

A(Rcos30;Rsin30);B(0;R);C(Rcos30;Rsin30);

O(0;0);P(Rcosφ;Rsinφ)

Угол φ - это наклон отрезка OP к оси x

4)Нормаль к прямой KL - это вектор OP, потому что касательная и радиус в точке касания перпендикулярны (да, я капитан очевидности)

Отсюда уравнение прямой KL

Rcosφx+Rsinφy+Ckl=0

5)Подстановкой точки P в прямую KL выясняем значение Ckl

RcosφRcosφ+RsinφRsinφ+Ckl=0Ckl=R2

Окончательно получим уравнение прямой KL

KL:Rcosφx+RsinφyR2=0

6) Уравнение прямой AC получим вообще просто - так как ACx, и YC=Rsin30, то уравнение прямой AC имеет вид:

AC:y+Rsin30=0

7)Уравнение AB тоже получим по-простому, без нормалей. Ведь известен наклон прямой AB к оси x - это 60

AB:y=tan60x+y(0)=3x+R

8)K=AKKL

{y=3x+Rcosφx+sinφyR=0

Надеюсь мне простят, если я сразу выдам решение этой системы

K(R(1sinφ)cosφ+3sinφ;R(3+cosφ)cosφ+3sinφ)

9)L=ACKL

{y=R/2cosφx+sinφyR=0

Решение системы

L(R(1+0.5sinφ)cosφ;R2)

10)Считаем OKOL

OKOL=XkXl+YkYl

OKOL=R(1sinφ)cosφ+3sinφR(1+0.5sinφ)cosφ+R(3+cosφ)cosφ+3sinφR2

Данное выражение строго меньше 0 при 30<φ<90