2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы
Комментарий/решение:
1)Факт: косинус острого угла больше 0. Напротив, если угол тупой, его косинус меньше 0.
2)Рассмотрим скалярное произведение векторов →OK и →OL
→OK⋅→OL=|→OK|⋅|→OL|⋅cos∠KOL
Длины отрезков неотрицательны, а значит, скалярное произведение и косинус угла имеют одинаковый знак. То есть, если покажем, что →OK⋅→OL<0, то из этого сразу же следует cos∠KOL<0, а из этого - то, что ∠KOL>90∘
3)Введем систему координат как на рисунке. Тогда координаты будут:
A(−R⋅cos30∘;−R⋅sin30∘);B(0;R);C(R⋅cos30∘;−R⋅sin30∘);
O(0;0);P(R⋅cosφ;R⋅sinφ)
Угол φ - это наклон отрезка OP к оси x
4)Нормаль к прямой KL - это вектор →OP, потому что касательная и радиус в точке касания перпендикулярны (да, я капитан очевидности)
Отсюда уравнение прямой KL
R⋅cosφ⋅x+R⋅sinφ⋅y+Ckl=0
5)Подстановкой точки P в прямую KL выясняем значение Ckl
R⋅cosφ⋅R⋅cosφ+R⋅sinφ⋅R⋅sinφ+Ckl=0→Ckl=−R2
Окончательно получим уравнение прямой KL
KL:R⋅cosφ⋅x+R⋅sinφ⋅y−R2=0
6) Уравнение прямой AC получим вообще просто - так как AC∥x, и YC=−Rsin30∘, то уравнение прямой AC имеет вид:
AC:y+Rsin30∘=0
7)Уравнение AB тоже получим по-простому, без нормалей. Ведь известен наклон прямой AB к оси x - это 60∘
AB:y=tan60∘⋅x+y(0)=√3⋅x+R
8)K=AK∩KL⇒
{y=√3⋅x+Rcosφ⋅x+sinφ⋅y−R=0
Надеюсь мне простят, если я сразу выдам решение этой системы
K(R(1−sinφ)cosφ+√3sinφ;R(√3+cosφ)cosφ+√3sinφ)
9)L=AC∩KL⇒
{y=−R/2cosφ⋅x+sinφ⋅y−R=0
Решение системы
L(R(1+0.5⋅sinφ)cosφ;R2)
10)Считаем →OK⋅→OL
→OK⋅→OL=Xk⋅Xl+Yk⋅Yl
→OK⋅→OL=R(1−sinφ)cosφ+√3sinφ⋅R(1+0.5⋅sinφ)cosφ+R(√3+cosφ)cosφ+√3sinφ⋅R2
Данное выражение строго меньше 0 при −30∘<φ<90∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.