2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, первая лига, 7-8 классы

На рисунке ниже $AB=CD$, $BC=2AD$. Докажите, что $\angle BAD=30^\circ$.

Комментарий/решение

$$DT \bot AB \quad DS \bot BC$$

$$ \angle SCD =30^o\Rightarrow \angle DSN =60^o =\angle WSN$$

$$ CD=SN \quad AB=WS \Rightarrow WS=SN$$

$$ \triangle WSN: WS=SN, \quad \angle WSN=60^o \Rightarrow \angle SWN = \angle SNW =60^o$$

$$ \triangle TWN: TN=BC=2AD=2TW, \quad TNW \angle=30^o \Rightarrow WTN = 60^o$$

$$ \Rightarrow \angle DWT = \angle DAT =\angle BAD=30^o$$

Возьмем $\angle BAD=x$.Сначала,дорисуем четырехугольник $ABCD$до квадрата $BFEC$.Проведем линию $DB$ и представим $\angle DBA=a$.Тогда,$\angle DBC=90-a;\angle BDC=60+a$.Проведем линию $AH,где H $ лежит на стороне $CE$.$AB=CD;AB=CH$.Значит $CD=CH$.$\angle DCH=60 \Rightarrow CD=CH=DH \Rightarrow \angle ADH=60+x;\angle DHA=30;\angle DAH =90-x.BC=2AD=AH\Rightarrow AD=x;AH=2x.\angle DHA$. смотрит на сторону равную $x$;а $60+х$ на сторону равную $2х\Rightarrow 60+x=90.X=30.$