3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, третья лига, 11-12 классы

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$, $M$ середина стороны $AC$. На плоскости отметили точку $X$ такую, что $\angle AXB=\angle DXM=90^{\circ}$ ($X$ и $C$ лежат по разные стороны от $BM$). Докажите, что $\angle XMB=2\angle MBC$.

Комментарий/решение

Опишем около $ABD$ окружность $\omega$ с центром $O$, тогда $AB$ диаметр, пусть $G$ на $\omega$ такая что $BDAG$ прямоугольник то есть $AG = BD$ , так как $M$ середина $AC$ прямоугольного треугольника $ADC$ откуда $MA=MD$, пусть $Y \in BM \cap \omega, \ X \in GM \cap \omega$ тогда $\angle AXB = 90^{\circ}$ и $\angle DXM = 90^{\circ}$ тогда $\angle BDM = \angle GAM = 90^{\circ} + \angle ADM$ то есть $GM = BM$ значит $MO$ биссектриса $\angle AMD$ тогда $MO \perp AD$ откуда $\angle AMO = 90^{\circ} - \angle DAM = \angle ACB$ то есть $MO || BC$ откуда $\angle XMB = 2\angle OMB = 2\angle MBC$