Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$ биіктігі жүргізілген, ал $M$ — $AC$-ның ортасы. $X$ нүктесі $\angle{AXB}=\angle{DXM}=90^\circ$ болатындай нүкте болсын ($X$ пен $C$ нүктелері $BM$ түзуінің екі жағында жатсын). $\angle{XMB}=2\angle{MBC}$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Опишем около $ABD$ окружность $\omega$ с центром $O$, тогда $AB$ диаметр, пусть $G$ на $\omega$ такая что $BDAG$ прямоугольник то есть $AG = BD$ , так как $M$ середина $AC$ прямоугольного треугольника $ADC$ откуда $MA=MD$, пусть $Y \in BM \cap \omega, \ X \in GM \cap \omega$ тогда $\angle AXB = 90^{\circ}$ и $\angle DXM = 90^{\circ}$ тогда $\angle BDM = \angle GAM = 90^{\circ} + \angle ADM$ то есть $GM = BM$ значит $MO$ биссектриса $\angle AMD$ тогда $MO \perp AD$ откуда $\angle AMO = 90^{\circ} - \angle DAM = \angle ACB$ то есть $MO || BC$ откуда $\angle XMB = 2\angle OMB = 2\angle MBC$