3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, первая лига, 7-8 классы
Вокруг треугольника ABC (AC>AB) описана окружность ω. На стороне AC и на окружности ω выбрали точки X и Y соответственно так, что CX=CY=AB. При этом точки A и Y лежат по разные стороны от прямой BC. Прямая XY пересекает окружность ω второй раз в точке P. Докажите, что PB=PC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
△CXY:CX=CY⇒∠CYX=∠CXY=α.
ω:∠CYP=∠CAP=α.
CA∩CP⇒∠CXY=∠PXA=α.
△XPA:∠PXA=∠PAX=α⇒XP=PA.
CY=AB⇒˘YC=˘AB⇒AC∥BY⇒∠YCA=∠CAB=π−2α.
△PAB:∠PAB=∠BAC+∠CAP=π−α.
Тогда ∠PYB=180∘−∠PAB=α. Так как ∠CYP=∠BYP=α, то CP=BP.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.