Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 1-ші лига (7-8 сыныптар)

$ABC$ үшбұрышында $AC > AB$ және $\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $AC$ кесіндісінен $X$, ал $\omega$ шеңберінен $Y$ нүктелері $CX=CY=AB$ болатындай алынған ($A$ мен $Y$ нүктелері $BC$ түзуінің екі жағында орналасқан). $XY$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктеде қияды. $PB=PC$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$$\triangle {CXY}: CX=CY \Rightarrow \angle CYX= \angle CXY=\alpha.$$

$$\omega: \angle CYP =\angle CAP=\alpha.$$

$$CA \cap CP \Rightarrow \angle CXY = \angle PXA=\alpha.$$

$$\triangle{XPA}: \angle PXA= \angle PAX=\alpha \Rightarrow XP=PA.$$

$$CY=AB \Rightarrow \breve{YC}=\breve{AB} \Rightarrow AC \parallel BY \Rightarrow \angle YCA= \angle CAB= \pi- 2\alpha.$$

$$\triangle {PAB}: \angle PAB=\angle BAC+ \angle CAP= \pi - \alpha.$$

Тогда $\angle PYB = 180^\circ-\angle PAB=\alpha.$ Так как $\angle CYP = \angle BYP = \alpha$, то $CP=BP.$