Processing math: 100%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2017 жыл


A(n) саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын: a1a2ak, a1++ak=n және барлық i=1,2,,k үшін ai+1 саны екінің дәрежесіне тең. Ал B(n) саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын: b1b2bm, b1++bm=n және барлық j=1,2,,m1 үшін bj2bj+1 теңсіздігі орындалады.
Кез келген натурал n үшін A(n)=B(n) екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
4 года 8 месяца назад #

Пусть S={2m1mN}

Тогда A(n) равно количеству способов представить число n в виде суммы элементов из S. (элементы из S можно использовать насколько раз.)

Построим биекцию (b1,,bm)(x1,,xm):

1)bm=xm

2)bi2bi+1=xi,i=1,,m1;

Из условия xiZ0 и {x1,,xm}{0,,0}. Тогда n=mi=1bi=mi=1(2i1)xi

Пусть X(n) равно количеству последовательностей (x1,,xm) таких, что n=mi=1(2i1)xi,xi0

Из ранее показаной биекции следует, что X(n)=B(n). Так же очевидно, что X(n) равно количеству способов представить число n в виде суммы элементов из S. Откуда A(n)=X(n).

Значит A(n)=B(n).