Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2017 жыл
A(n) саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын: a1≥a2≥…≥ak, a1+…+ak=n және барлық i=1,2,…,k үшін ai+1 саны екінің дәрежесіне тең. Ал B(n) саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын: b1≥b2≥…≥bm, b1+…+bm=n және барлық j=1,2,…,m−1 үшін bj≥2bj+1 теңсіздігі орындалады.
Кез келген натурал n үшін A(n)=B(n) екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Кез келген натурал n үшін A(n)=B(n) екенін дәлелдеңіз.
Комментарий/решение:
Пусть S={2m−1∣∀m∈N}
Тогда A(n) равно количеству способов представить число n в виде суммы элементов из S. (элементы из S можно использовать насколько раз.)
Построим биекцию (b1,…,bm)⟷(x1,…,xm):
1)bm=xm
2)bi−2bi+1=xi,∀i=1,…,m−1;
Из условия xi∈Z≥0 и {x1,…,xm}≠{0,…,0}. Тогда n=m∑i=1bi=m∑i=1(2i−1)⋅xi
Пусть X(n) равно количеству последовательностей (x1,…,xm) таких, что n=m∑i=1(2i−1)⋅xi,xi≥0
Из ранее показаной биекции следует, что X(n)=B(n). Так же очевидно, что X(n) равно количеству способов представить число n в виде суммы элементов из S. Откуда A(n)=X(n).
Значит A(n)=B(n).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.