XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2017 год

На бесконечном белом клетчатом листе выделен квадрат $Q$ размера $12\times 12$. Петя хочет окрасить некоторые (не обязательно все!) клетки квадрата семью цветами радуги (каждую клетку --- только одним цветом) так, чтобы никакие два из 288 трёхклеточных прямоугольников, центры которых лежат в $Q$, не были раскрашены одинаково. Удастся ли ему это сделать?
(Два трёхклеточных прямоугольника раскрашены одинаково, если один из них можно сдвинуть и, возможно, повернуть так, чтобы каждая его клетка наложилась на клетку второго прямоугольника, имеющую тот же цвет.) ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Очень возможно что я что то упустил, или задача и вправду простоватая.

Попробуем посчитать количество раскрасок прямоугольников которые не являются одинаковыми. У нас в общем $8$ цветов. Заметим что любые $2$ раскраски которые имеют одинаковый набор цветов и одинаково закрашенные центры являются одинаковыми.

Тогда количество раскрасок состоящие из $k$ цветов для $k=1,2,3$ равно:

$$\binom{8}{k}\cdot k$$

Где $\binom{8}{k}$ это количество наборов $k$ цветов и $k$ количество выборов раскрасить центр для любого набора.

Тогда общее количество возможных раскрасок равно: $$\sum^{3}_{k=1} {\binom{8}{k} \cdot k}=8\cdot (1+7+21)=232 < 288$$

Значит количество не одинаковых раскрасок меньше чем количество прямоугольников, иначе говоря, Пете не удастся сделать желаемое.