17-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2017 жыл

Шексіз ақ төр қағазда өлшемі $12\times 12$ болатын $Q$ квадраты алынған. Петя осы квадраттың шаршыларын (міндетті түрде барлығын емес) жеті түстің біреуіне (әр шаршыны тек бір түспен ғана) келесі шарт орындалатындай бояғысы келеді: центрі $Q$-да жататын, үш шаршыдан құралған 288 тіктөртбұрыштың ешқандай екеуі бірдей боялмаған болу керек.
(Егер екі үшшаршылы тіктөртбұрышты жылжыту арқылы (мүмкін бұру арқылы) екінші үшшаршылы тіктөртбұрышпен сәйкес шаршыларының түстері бірдей болатындай беттестіріп қоюға болса, онда осы екі тіктөртбұрыштар бірдей боялған болып саналады.) ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Очень возможно что я что то упустил, или задача и вправду простоватая.

Попробуем посчитать количество раскрасок прямоугольников которые не являются одинаковыми. У нас в общем $8$ цветов. Заметим что любые $2$ раскраски которые имеют одинаковый набор цветов и одинаково закрашенные центры являются одинаковыми.

Тогда количество раскрасок состоящие из $k$ цветов для $k=1,2,3$ равно:

$$\binom{8}{k}\cdot k$$

Где $\binom{8}{k}$ это количество наборов $k$ цветов и $k$ количество выборов раскрасить центр для любого набора.

Тогда общее количество возможных раскрасок равно: $$\sum^{3}_{k=1} {\binom{8}{k} \cdot k}=8\cdot (1+7+21)=232 < 288$$

Значит количество не одинаковых раскрасок меньше чем количество прямоугольников, иначе говоря, Пете не удастся сделать желаемое.