Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2017 жыл
1) кез келген қатар орналасқан төрт санның қосындысы 3-ке бөлінбейді;
2) кез келген қатар орналасқан бес санның қосындысы 3-ке бөлінеді.
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 126.
Решение. Заменим для удобства все числа их остатками при делении на 3 (от этого делимость или неделимость на 3 не изменится). Тогда у нас имеется ровно по 100 чисел (остатков) 0, 1 и 2. Следующий ряд 2,1,1,1,1,2,1,1,1,1,2,…,1,1,1,1,2, в котором использованы все 100 чисел 1 и 26 чисел 2 (они повторяются через каждые 4 единицы), удовлетворяет условию задачи. Всего в этом примере 126 чисел.
Покажем, что больше, чем 126, чисел с соблюдением условия задачи выбрать и расставить так, как требуется, нельзя. Пусть последовательность чисел
a1,a2,a3,…,an(∗)
удовлетворяет условиям 1) и 2). Ввиду приведённого примера можем считать, что n≥127. Тогда для любого числа из последовательности (∗) найдутся ещё по крайней мере 4 числа, стоящие либо слева от него, либо справа.
Пусть, для определённости, справа от числа a расположены еще числа b,c,d,e. Тогда, по условию, число a+b+c+d+e делится на 3, а число b+c+d+e на 3 не делится. Поэтому a не делится на 3. Таким образом, среди чисел последовательности (∗) нет чисел, кратных 3, т.е. (поскольку мы их заменили остатками) нет чисел 0, и, значит, есть только числа 1 и 2.
Рассмотрим любую пятёрку подряд идущих чисел последовательности (∗), сумма которых, по условию, делится на 3. Среди них есть по крайней мере 3 одинаковых числа, поэтому их сумма делится на 3. Тогда и сумма двух оставшихся чисел делится на 3. Но эти два оставшихся числа могут быть только 1 и 2. Таким образом, для всех пятёрок подряд идущих чисел последовательности (∗) имеет место альтернатива: либо в каждой из них четыре 1 и одна 2, либо в каждой из них четыре 2 и одна 1.
Разобьём теперь все числа последовательности (*) на пятёрки подряд идущих чисел; в конце, возможно, останется неполная пятёрка. Пусть, для определённости, в любой пятёрке по 4 единицы и 1 двойка. Так как всего имеется 100 единиц и в каждой пятёрке их четыре, то полных пятёрок не более 100:4=25. А если их ровно 25, то оставшаяся (неполная) пятёрка может состоять только из одного числа: единиц уже нет, а подряд стоящих двоек может быть не более одной. Итого, в последовательности (∗) не более 25⋅5+1=126 чисел.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.