Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

Пусть $A=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}$ и $B=\frac{{{a}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}.$ Сравните числа $A$ и $B$.

Комментарий/решение

$$A-B=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=$$

$$=\frac{(a-b)\left( a^2+ab+b^2\right) }{a^2+ab+b^2}+\frac{(b-c)\left( b^2+bc+c^2\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c-a)\left( c^2+ca+a^2\right)}{c^2+ca+a^2}=$$

$$=a-b+b-c+c-a=0 \Rightarrow A=B$$