Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год

Решите систему уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} xy = {\rm{930}},\\ yz = {\rm{992}},\\ xz = {\rm{960}}. \end{array} \right.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $\left( 30;31;32 \right)$ и $\left( -30;-31;-32 \right)$.
Решение. Умножив первое и третье уравнение, учитывая, что $yz=992$, получим ${{x}^{2}}yz=xy\cdot zx=930\cdot 960$. Следовательно, ${{x}^{2}}=\dfrac{930\cdot 960}{yz}=\dfrac{930\cdot 960}{992}=900$, то есть ${{x}^{2}}=900$. Последнее уравнение имеет два корня: ${{x}_{1}}=30$ и ${{x}_{2}}=-30$. Далее легко найти остальные числа.
При ${{x}_{1}}=30$ имеем:${{y}_{1}}=\dfrac{930}{{{x}_{1}}}=\dfrac{960}{30}=31$ и ${{z}_{1}}=\dfrac{960}{{{x}_{1}}}=\dfrac{960}{30}=32$.
При ${{x}_{2}}=-30$ имеем:${{y}_{2}}=\dfrac{930}{{{x}_{2}}}=\dfrac{930}{-30}=-31$ и ${{z}_{2}}=\dfrac{960}{{{x}_{2}}}=\dfrac{960}{-30}=-32$.

Рассмотрим простые делители этих чисел. 930=2*3*5*31; 992=2^5*31; 960=2^6*3*5. Так как у состоит как в 930, так и в 992, у = 31 или 2 или 62 (общие делители). если у = 2, то z=2^4*31(992/у) ; x=5*3*31(930/у). Но тогда хz>960, а это противоречие.

Если у =62, то х=5*3(930/у), а z=2^4(992/у). Тогда хz=5*3*2^4, а это не равно 960(2^6*3*5).

Получается, что у = 31, х=30(2*3*5), z=32(2^5). Также эти числа умножаются друг на друга, следовательно ,если все они будут отрицательные ,задача будет также решена.