Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Можно ли числа $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ разбить на три непустых множества $A$, $B$ и $C$ так, что для любых $a\in A$, $b\in B$ и $c\in C$ числа $ab+c$ и $ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, можно.
Решение. Положим $A=\{1,4,7,\ldots,2017\}$, $B=\{2,5,8,\ldots,2015\}$ и $C=\{3,6,9,\ldots,2016\}$. Тогда для любых $a \in A$, $b\in B$, $c\in C$ имеем: $a \equiv 1 \pmod 3$, $b \equiv 2 \pmod 3$ и $c \equiv 0 \pmod 3$. Тогда $ab+c \equiv ac+b \equiv 2 \pmod 3$. Но квадрат целого числа может давать только остатки 0 и 1 при делении на 3. Следовательно, числа $ab+c$ и $ac+b$ не могут быть точными квадратами.

Дополнительная задача:

Можно ли числа 1, 2, …, 2017 разбить на три непустых множества A, B и C так, что для любых a∈A, b∈B и c∈C числа ab+c, bc+a и ac+b не являлись точными квадратами?

по мод $4$ пусть числа $A=1,3,5,7,....,2017$,$B=4,8,12,.....,2016$,$C=2,6,10,.....,2014$ тогда $ab+c\equiv2\pmod{4}$,$ac+b\equiv 2 \pmod{4}$ но квадраты числа дают $n^2\equiv 1,0 \pmod{4}$

Будем рассматривать$\pmod{4}$.

Пусть $a \equiv 1; b \equiv 0; c \equiv 2,3$.

Тогда $ab+c \equiv 1\cdot0+(2,3) \equiv 2,3 | ac+b \equiv 1\cdot(2,3)+0 \equiv 2,3$.

Но квадрат целого числа $k^2 \equiv 0,1$, значит можно.