Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

При каких значениях параметра $a$ уравнение ${{x}^{2}}-3x\left[ x \right]+2x=a$ имеет ровно два различных положительных корня. (Здесь $\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Комментарий/решение

$$x=[x]+\{x\}$$

$$x^2-3x[x]+2x-a=0\Rightarrow [x]=\frac{x^2+2x-a}{3x}$$

$$f(x)=[g(x)]\Rightarrow f(x)\leq g(x) \leq f(x)+1$$

$$\frac{x^2+2x-a}{3x}\leq x \leq \frac{x^2+2x-a}{3x}+1$$

$$\frac{x^2+2x-a}{3x}\leq x \leq \frac{x^2+5x-a}{3x}$$

$$\left\{ \begin{gathered} \frac{x^2+5x-a}{3x}\geq x\\ \frac{x^2+2x-a}{3x}\leq x \\ \end{gathered} \right.$$

$$\left\{ \begin{gathered} \frac{2x^2-5x+a}{3x}\leq 0\\ \frac{2x^2-2x+a}{3x}\geq 0 \\ \end{gathered} \right.$$

$$1)2x^2-5x+a=0 \Rightarrow \mathbb{D_1}=25-8a>0\Rightarrow$$

$$x_{1}=\frac{5- \sqrt{25-8a}}{4}>0\Rightarrow \frac{25}{8}>a>0$$

$$2)2x^2-2x+a \Rightarrow \mathbb{D_2}=4-8a>0$$

$$x_{1}=\frac{1- \sqrt{1-2a}}{2}>0\Rightarrow \frac{1}{2}>a>0$$

$\mathbb{O}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{T}$: $a\in (0, \frac{1}{2})$

Если при каком-то значений $а\in(0,\frac{1}{2})$, $\frac{5-\sqrt{25-8a}}{4}$ = $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$. Ведь по условий корни уравнения должны были быть различными