Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

$y=f(x)+2g(x)$ функциясының графигі $A(-1,3)$ және $B(1,2)$ нүктелері арқылы өтетін түзу екені, ал $3f(x)-g(x)$ функциясының графигі $OY$--ке қатысты $AB$--ға симметриялы түзу екені белгілі. $f$ және $g$ функцияларын табыңыздар.

Комментарий/решение

$y=-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{5}{2}$ - прямая, проходящая через $A(−1,3)$ и $B(1,2)$, $y=\cfrac{1}{2}x+\cfrac{5}{2}$ - прямая, симметричная $(AB)$ относительно оси $OY$.

$\left\{ \begin{array}{l} f(x)+2g(x) = -\cfrac{1}{2}x+\cfrac{5}{2}, \\ 3f(x) - g(x) = \cfrac{1}{2}x+\cfrac{5}{2}. \end{array} \right.$

Решив систему относительно $f(x)$ и $g(x)$, получим:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = \cfrac{1}{14}x+\cfrac{15}{14}, \\ g(x) = -\cfrac{2}{7}x+\cfrac{5}{7}. \end{array} \right.$