Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, III тур дистанционного этапа


Петя отмечает на плоскости четыре точки так, чтобы их все нельзя было зачеркнуть двумя параллельными прямыми. Из прямых, проходящих через пары точек, Вася выбирает две, измеряет угол между ними и платит Пете сумму, равную градусной мере угла. Какую наибольшую сумму может гарантировать себе Петя?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 30.
Решение. Оценка. Есть 6 пар точек, то есть 6 возможных прямых. По условию, среди них нет параллельных. Проведём через одну точку шесть параллельных им прямых. Они разобьют плоскость на 12 углов, поэтому есть угол не более 30 градусов.
Пример. Возьмём произвольный отрезок $AC$ и по разные стороны от него построим равносторонний треугольник $ABC$ и равнобедренный треугольник $ADB$ с углом $120^\circ$ при вершине $D$. Легко убедиться, что угол между любыми двумя из шести прямых, заданных точками $A$, $B$, $C$, $D$, не меньше 30 градусов.