Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный жыл, III тур дистанционного этапа


Петя, төрт нүктенің барлығын да екі өзара параллель түзумен сызып тастауға болмайтындай, жазықтықта төрт нүкте белгілейді. Вася екі нүкте жұбынан өтетін түзулердің екеуін таңдап алып, олардың арасындағы бұрышты өлшейді. Сосын Вася қанша градус өлшесе, Петяға сонша рубль береді. Петя кепілді түрде ең көп дегенде қанша рубль ала алады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 30.
Решение. Оценка. Есть 6 пар точек, то есть 6 возможных прямых. По условию, среди них нет параллельных. Проведём через одну точку шесть параллельных им прямых. Они разобьют плоскость на 12 углов, поэтому есть угол не более 30 градусов.
Пример. Возьмём произвольный отрезок $AC$ и по разные стороны от него построим равносторонний треугольник $ABC$ и равнобедренный треугольник $ADB$ с углом $120^\circ$ при вершине $D$. Легко убедиться, что угол между любыми двумя из шести прямых, заданных точками $A$, $B$, $C$, $D$, не меньше 30 градусов.