Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, III тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $K$. $KM$ и $KP$ — биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$ соответственно. Оказалось, что диагональ $MK$ делит четырёхугольник $BMPK$ на два равных треугольника. Докажите, что $M$ — середина $AB$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Прямые $KM$ и $MP$ перпендикулярны, как биссектрисы смежных углов. Поэтому треугольник $BMK$ тоже прямоугольный. В треугольнике $MBK$ угол $BKM$ — острый. Так как сторона $MK$ у двух наших треугольников — общая, угол $MBK$ равен углу $MPK$, который также является острым. Значит, в треугольнике $MBK$ прямым является угол $BMK$. Но тогда в треугольнике $ABK$ высота является высотой и биссектрисой, а, значит, и медианой.