Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный жыл, III тур дистанционного этапа

$ABC$ үшбұрышында $BC$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $KM$ және $KP$ — сәйкесінше $AKB$ және $AKC$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $BMPK$ төртбұрышының $MK$ диагоналі төртбұрышты тең екі үшбұрышқа бөлетіні белгілі. $M$ нүктесі — $AB$ кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Прямые $KM$ и $MP$ перпендикулярны, как биссектрисы смежных углов. Поэтому треугольник $BMK$ тоже прямоугольный. В треугольнике $MBK$ угол $BKM$ — острый. Так как сторона $MK$ у двух наших треугольников — общая, угол $MBK$ равен углу $MPK$, который также является острым. Значит, в треугольнике $MBK$ прямым является угол $BMK$. Но тогда в треугольнике $ABK$ высота является высотой и биссектрисой, а, значит, и медианой.