Processing math: 100%

Шалтай Смағұлов атындағы 1-ші олимпиада, 7 сынып, 2 тур, 2016 ж.


Бес таңбалы A саны тек «2» және «3» цифралары арқылы жазылады. Ал алты таңбалы B саны тек «3» және «4» цифралары арқылы жазылады. Әли A мен B сандарын көбейтіп, тек «2» цифраларынан тұратын сан алдым деді. Әли қателесіп тұрған жоқ па?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Ошибся.
Понятно, что минимальное значение A равно 22222, а максимальное 33333. Также, минимальное значение B равно 333333, а максимальное равно 444444. Тогда произведение AB находится в интервале от 22222333333=7407325926 до 33333444444=14814651852. Осталось заметить, что 22210раз<7407325926<14814651852<22211раз. Поэтому его первая цифра точно не 2.

  1
2 года 11 месяца назад #

Альтернативное решение:

Начнем с конца цифр A*B= какое то число и в конце будет 2, значит последними цифрами в числах A и B будут 3 и 4 соответственно. Получается идут несколько цифр и в конце 2, но в разряд десятков добавляется 1, значит в разряде десятков после умножения A на B должно получиться число 1,11 или 21. Сразу заметим что ни одно из этих произведений не может получиться при умножении чисел 2 или 3 на 3 или 4. Выходит противоречие, цифра в разряде десятков не может быть равна 2.

  0
6 месяца 28 дней назад #

Альтернативное решение не работает. Предпоследняя цифра результата не является произведением каких-то цифр исходных чисел (плюс 1). Чтобы найти ее, то есть чтобы найти цифру десятков произведения, нужно сложить произведение цифры единиц первого числа и цифры десятков второго и произведение цифры десятков первого числа и цифры единиц второго, к результату добавить 1 и взять последнюю цифру. Соответственно, если взять числа ...33 и ...34, то в результате получится ...22. Так что соответствующих рассуждений недостаточно для того, чтобы делать вывод.

пред. Правка 2   0
9 месяца 29 дней назад #

Сделаем такую грубую оценку

2104<A<4104,3105<B<5105=>6109<AB<20109=21010. Что доказывает наше утверждение задачи.