Шалтай Смағұлов атындағы 1-ші олимпиада, 7 сынып, 2 тур, 2016 ж.

Бес таңбалы $A$ саны тек «2» және «3» цифралары арқылы жазылады. Ал алты таңбалы $B$ саны тек «3» және «4» цифралары арқылы жазылады. Әли $A$ мен $B$ сандарын көбейтіп, тек «2» цифраларынан тұратын сан алдым деді. Әли қателесіп тұрған жоқ па?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Ошибся.
Понятно, что минимальное значение $A$ равно $22222$, а максимальное $33333$. Также, минимальное значение $B$ равно $333333$, а максимальное равно $444444$. Тогда произведение $AB$ находится в интервале от $22222\cdot 333333=7407325926$ до $33333\cdot 444444=14814651852$. Осталось заметить, что \[\underbrace{22\ldots 2}_{10-раз} < 7407325926 < 14814651852 < \underbrace{22\ldots 2}_{11-раз}.\] Поэтому его первая цифра точно не 2.

Альтернативное решение:

Начнем с конца цифр A*B= какое то число и в конце будет 2, значит последними цифрами в числах A и B будут 3 и 4 соответственно. Получается идут несколько цифр и в конце 2, но в разряд десятков добавляется 1, значит в разряде десятков после умножения A на B должно получиться число 1,11 или 21. Сразу заметим что ни одно из этих произведений не может получиться при умножении чисел 2 или 3 на 3 или 4. Выходит противоречие, цифра в разряде десятков не может быть равна 2.

Альтернативное решение не работает. Предпоследняя цифра результата не является произведением каких-то цифр исходных чисел (плюс 1). Чтобы найти ее, то есть чтобы найти цифру десятков произведения, нужно сложить произведение цифры единиц первого числа и цифры десятков второго и произведение цифры десятков первого числа и цифры единиц второго, к результату добавить 1 и взять последнюю цифру. Соответственно, если взять числа ...33 и ...34, то в результате получится ...22. Так что соответствующих рассуждений недостаточно для того, чтобы делать вывод.

Сделаем такую грубую оценку

$2*10^4<A<4*10^4, 3*10^5<B<5*10^5 => 6*10^9<AB<20*10^9=2*10^{10}$. Что доказывает наше утверждение задачи.