Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, I тур дистанционного этапа

Существуют ли такие натуральные числа $m$, $n$, $k$, что все три числа $m^2+n+k$, $n^2+k+m$, $k^2+m+n$ являются квадратами натуральных чисел?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Нет. Решение. Допустим, утверждение задачи верно. Тогда $m^2+n+k \ge (m+1)^2$, откуда $n+k \ge 2m+1$. Аналогично, $m+k \ge 2m+1$, $n+k \ge 2m+1$. Складывая три полученных неравенства, получаем $2(n+m+k) \ge 2(n+m+k)+3$. Противоречие.

АТМО 2011