Леонард Эйлер атындағы IX олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

${{m}^{2}}+n+k$, ${{n}^{2}}+k+m$, ${{k}^{2}}+m+n$ санадарының барлығы бір мезгілде натурал сандардың квадраттары болатындай натурал $m$, $n$, $k$ сандары табылады ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Нет. Решение. Допустим, утверждение задачи верно. Тогда $m^2+n+k \ge (m+1)^2$, откуда $n+k \ge 2m+1$. Аналогично, $m+k \ge 2m+1$, $n+k \ge 2m+1$. Складывая три полученных неравенства, получаем $2(n+m+k) \ge 2(n+m+k)+3$. Противоречие.

АТМО 2011