Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, I тур дистанционного этапа

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ такова, что $DOCP$ — тоже параллелограмм ($CD$ — его диагональ). Обозначим через $Q$ точку пересечения $BP$ и $AC$, а через $R$ — точку пересечения $DQ$ и $CP$. Докажите, что $PC=CR$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что отрезки $DP$ и $BC$ параллельны и равны. Поэтому $BOPC$ — параллелограмм, откуда $QC = OC/2 = PD/2$. Таким образом, отрезок $QC$ с концами на сторонах $RD$ и $RP$ треугольника $DRP$ параллелен стороне $DP$ этого треугольника и равен её половине. Значит, он является средней линией этого треугольника (иначе он вместе со средней линией образовывал бы параллелограмм, что невозможно, так как прямые $RD$ и $RP$ не параллельны). Следовательно, $C$ — середина отрезка $RP$, что и требовалось доказать.