Леонард Эйлер атындағы IX олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

$ABCD$ параллелограммының диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі $DOCP$ төртбұрышы да параллелограмм болатындай нүкте ($CD$ – оның диагоналі). $BP$ және $AC$ түзулері $Q$, ал $DQ$ және $CP$ түзулері $R$ нүктелерінде қиылыссын. $PC=CR$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что отрезки $DP$ и $BC$ параллельны и равны. Поэтому $BOPC$ — параллелограмм, откуда $QC = OC/2 = PD/2$. Таким образом, отрезок $QC$ с концами на сторонах $RD$ и $RP$ треугольника $DRP$ параллелен стороне $DP$ этого треугольника и равен её половине. Значит, он является средней линией этого треугольника (иначе он вместе со средней линией образовывал бы параллелограмм, что невозможно, так как прямые $RD$ и $RP$ не параллельны). Следовательно, $C$ — середина отрезка $RP$, что и требовалось доказать.