Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
b_Ответ: 100._b
b_Решение:_b
b_1) _b Рассмотрим операцию a∘b=a+b+ab.
C одной стороны a∘b∘c=(a∘b)∘c=(a+b+ab)∘c=a+b+c+ab+bc+ca+abc,
с другой стороны a∘b∘c=a∘(b∘c)=a∘(b+c+bc)=a+b+c+ab+bc+ca+abc.
Значит операция ∘ ассоциативна, и результат не зависит от порядка вычисления.
b_2) _b Рассмотрим исходную последовательность: 1,12,13,…,1100.
1∘12=2
1∘12∘13=(1∘12)∘13=2∘13=3
b_Гипотеза:_b 1∘12∘13∘…∘1n=n,n>1.
Докажем мат. индукцией.
Выражение (1) верно при n=2.
Пусть, выражение (1) верно при n=k, тогда получим:
1∘12∘13∘…∘1k=k.
Проверим, верно ли выражение (1) при n=k+1.
1∘12∘13∘…∘1k+1=k+1
(1∘12∘13∘…∘1k)∘1k+1=k+1
Используя выражение (2), получим:
k∘1k+1=k+1
k+1k+1+k⋅1k+1=k+1
Значит, выражение (1) верно.
b_3)_b Применяя к исходной последовательности 1,12,13,…,1100 операцию ∘ в итоге получим число 100.
Тақтада жазылған 100 санды келесі түрде жазайық.
1,1n,1n+1,…,1n+98
мұндaғы n=2
Есеп шарты бойынша:
1+1n+1n=1+2n
1n+1+1n+2+1(n+1)(n+2)=2n+1
1n+3+1n+4+1(n+3)(n+4)=2n+3
⋮
1n+97+1n+98+1(n+97)(n+98)=2n+97
Ал бізде n=2 болғандықтан:
12+97+12+98+1(2+97)(2+98)=22+97=299
Сонымен, 100 саннан 2,23,25,…,299 барлығы 50 сан қалады. Кезекті операциядан кейін:
2+23+43=4
25+27+435=45
29+211+499=49
⋮
297+299+497⋅99=497
Яғни 50 саннан 4,45,49,…,497 барлығы 25 сан қалады. Келесі кезекті операциядан соң 25 саннан 8,89,817,…,889 барлығы.
Операциядан тыс қалған бір сан 497 болады. Осылайша операцияны 2 сан қалғанша жалғастырсақ, кезекті операцияның соңында:
64,3665
Ең соңғы операциядан кейін алатынымыз:
64+3665+230465=100
Жауабы: 100
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.