Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс


На доске написаны 100 чисел: 1, 12, 13, , 1100. Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа a, b стираются и вместо них пишется одно число a+b+ab. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 6 месяца назад #

b_Ответ: 100._b

b_Решение:_b

b_1) _b Рассмотрим операцию ab=a+b+ab.

C одной стороны abc=(ab)c=(a+b+ab)c=a+b+c+ab+bc+ca+abc,

с другой стороны abc=a(bc)=a(b+c+bc)=a+b+c+ab+bc+ca+abc.

Значит операция ассоциативна, и результат не зависит от порядка вычисления.

b_2) _b Рассмотрим исходную последовательность: 1,12,13,,1100.

112=2

11213=(112)13=213=3

b_Гипотеза:_b 112131n=n,n>1.

Докажем мат. индукцией.

Выражение (1) верно при n=2.

Пусть, выражение (1) верно при n=k, тогда получим:

112131k=k.

Проверим, верно ли выражение (1) при n=k+1.

112131k+1=k+1

(112131k)1k+1=k+1

Используя выражение (2), получим:

k1k+1=k+1

k+1k+1+k1k+1=k+1

Значит, выражение (1) верно.

b_3)_b Применяя к исходной последовательности 1,12,13,,1100 операцию в итоге получим число 100.

  0
8 года 5 месяца назад #

Заметим, что выражение (a_1 + 1)(a_2 +1)...(a_100 +1) не изменяется, т.к (a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1

Следовательно последнее число будет равно (1+1)(1/2+1)...(1/100+1)=2*3/2*4/3*...*101/100=101

Ответ 101

  2
8 года 5 месяца назад #

Ответ неверен.

h_Первоисточник решения.@http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=98093_h

пред. Правка 2   0
1 года 2 месяца назад #

Тақтада жазылған 100 санды келесі түрде жазайық.

1,1n,1n+1,,1n+98

мұндaғы n=2

Есеп шарты бойынша:

1+1n+1n=1+2n

1n+1+1n+2+1(n+1)(n+2)=2n+1

1n+3+1n+4+1(n+3)(n+4)=2n+3

1n+97+1n+98+1(n+97)(n+98)=2n+97

Ал бізде n=2 болғандықтан:

12+97+12+98+1(2+97)(2+98)=22+97=299

Сонымен, 100 саннан 2,23,25,,299 барлығы 50 сан қалады. Кезекті операциядан кейін:

2+23+43=4

25+27+435=45

29+211+499=49

297+299+49799=497

Яғни 50 саннан 4,45,49,,497 барлығы 25 сан қалады. Келесі кезекті операциядан соң 25 саннан 8,89,817,,889 барлығы.

Операциядан тыс қалған бір сан 497 болады. Осылайша операцияны 2 сан қалғанша жалғастырсақ, кезекті операцияның соңында:

64,3665

Ең соңғы операциядан кейін алатынымыз:

64+3665+230465=100

Жауабы: 100