Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс

На доске написаны 100 чисел: $1,~\frac{1}{2},~\frac{1}{3},~\ldots ,~\frac{1}{100}$. Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа $a,~b$ стираются и вместо них пишется одно число $a+b+ab$. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?

Комментарий/решение

b_Ответ: $100$._b

b_Решение:_b

b_1) _b Рассмотрим операцию $a \circ b = a+b+ab$.

C одной стороны $a \circ b \circ c = (a \circ b) \circ c = (a+b+ab) \circ c = a+b+c+ab+bc+ca+abc$,

с другой стороны $a \circ b \circ c = a \circ (b \circ c) = a \circ (b+c+bc) = a+b+c+ab+bc+ca+abc$.

Значит операция $\circ$ ассоциативна, и результат не зависит от порядка вычисления.

b_2) _b Рассмотрим исходную последовательность: $1,\,\cfrac{1}{2},\,\cfrac{1}{3},\,\ldots,\cfrac{1}{100}$.

$1\circ\cfrac{1}{2}=2$

$1\circ\cfrac{1}{2}\circ\cfrac{1}{3}=\left(1\circ\cfrac{1}{2}\right)\circ\cfrac{1}{3}=2\circ\cfrac{1}{3}=3$

b_Гипотеза:_b $1\circ\cfrac{1}{2}\circ\cfrac{1}{3}\circ\ldots\circ\cfrac{1}{n}=n,\, n>1.\label{eq:1} \tag{1}$

Докажем мат. индукцией.

Выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=2$.

Пусть, выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=k$, тогда получим:

$1\circ\cfrac{1}{2}\circ\cfrac{1}{3}\circ\ldots\circ\cfrac{1}{k}=k.\label{eq:2} \tag{2}$

Проверим, верно ли выражение $\eqref{eq:1}$ при $n=k+1$.

$1\circ\cfrac{1}{2}\circ\cfrac{1}{3}\circ\ldots\circ\cfrac{1}{k+1}=k+1$

$\left(1\circ\cfrac{1}{2}\circ\cfrac{1}{3}\circ\ldots\circ\cfrac{1}{k}\right)\circ\cfrac{1}{k+1}=k+1$

Используя выражение $\eqref{eq:2}$, получим:

$k\circ\cfrac{1}{k+1}=k+1$

$k+\cfrac{1}{k+1}+k\cdot\cfrac{1}{k+1}=k+1$

Значит, выражение $\eqref{eq:1}$ верно.

b_3)_b Применяя к исходной последовательности $1,\,\cfrac{1}{2},\,\cfrac{1}{3},\,\ldots,\cfrac{1}{100}$ операцию $\circ$ в итоге получим число $100$.

Заметим, что выражение (a_1 + 1)(a_2 +1)...(a_100 +1) не изменяется, т.к (a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1

Следовательно последнее число будет равно (1+1)(1/2+1)...(1/100+1)=2*3/2*4/3*...*101/100=101

Ответ 101

Ответ неверен.

h_Первоисточник решения.@http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=98093_h

Тақтада жазылған 100 санды келесі түрде жазайық.

\[1, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots, \frac{1}{n+98}\]

мұндaғы \(n = 2\)

Есеп шарты бойынша:

\[1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{2}{n}\]

\[\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+1}\]

\[\frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} + \frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{2}{n+3}\]

\[\vdots\]

\[\frac{1}{n+97} + \frac{1}{n+98} + \frac{1}{(n+97)(n+98)} = \frac{2}{n+97}\]

Ал бізде \(n = 2\) болғандықтан:

\[\frac{1}{2+97} + \frac{1}{2+98} + \frac{1}{(2+97)(2+98)} = \frac{2}{2+97} = \frac{2}{99}\]

Сонымен, 100 саннан \(2, \frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \ldots, \frac{2}{99}\) барлығы 50 сан қалады. Кезекті операциядан кейін:

\[2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 4\]

\[\frac{2}{5} + \frac{2}{7} + \frac{4}{35} = \frac{4}{5}\]

\[\frac{2}{9} + \frac{2}{11} + \frac{4}{99} = \frac{4}{9}\]

\[\vdots\]

\[\frac{2}{97} + \frac{2}{99} + \frac{4}{97 \cdot 99} = \frac{4}{97}\]

Яғни 50 саннан \(4, \frac{4}{5}, \frac{4}{9}, \ldots, \frac{4}{97}\) барлығы 25 сан қалады. Келесі кезекті операциядан соң 25 саннан \(8, \frac{8}{9}, \frac{8}{17}, \ldots, \frac{8}{89}\) барлығы.

Операциядан тыс қалған бір сан \(\frac{4}{97}\) болады. Осылайша операцияны 2 сан қалғанша жалғастырсақ, кезекті операцияның соңында:

\[64, \frac{36}{65}\]

Ең соңғы операциядан кейін алатынымыз:

\[64 + \frac{36}{65} + \frac{2304}{65} = 100\]

Жауабы: 100