Processing math: 58%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл


Егер натурал санды 2a1+2a2++2a100 түрінде келтіруге болса, бұл жерде a1,a2,,a100 — теріс емес бүтін сандар (міндетті түрде бірдей әртүрлі емес), онда ондай санды тамаша сан деп атайық. n-ге бөлінетін сандардың ешқайсысы тамаша болмайтындай, ең кіші натурал n санын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   4
3 года 1 месяца назад #

Решение: Заменим n=100. Докажем, что ответ 2n+11.

Минимальность: Заметим, что

2n+12=2n+2n1++21=B,

2n1=2n1++21+20=A,

а так же для любого 0x2n1 существует следующая запись

x=n1i=0εi2i,i:εi{0,1}

тогда x+A пробегает все значения от A до B, при этом оно является чудесным.

Так же очевидно, что для любого 1x2n2 на отрезке [A,B] найдется число кратное x.

Делимость: Заметим, что 2^{n+1+k}\equiv 2^{k}\pmod {2^{n+1}-1}

Допустим некоторое число чудесное число 2^{a_1}+...+2^{a_n} делится на 2^{n+1}-1.

Ясно, что можно принять 0\le a_i \le n. Если среди этих степеней двоек найдутся два одинаковых, скажем 2^k,

то просуммируем их и рассмотрим остаток 2^{k+1} по модулю {2^{n+1}-1}.

Продолжаем данный процесс пока не останутся только различные степени. В конце количество слагаемых будет не более чем n, они все различные и степени лежат от 0 до n. Очевидно это число будет не более чем 2^1+\ldots+2^n=2^{n+1}-2 и больше 0, что не может делится на искомое число. \square