Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл
Комментарий/решение:
Допустим треугольник ABC−замечательный.
Пусть AL−биссектриса в △ABC, а P и Q проекции точки L на AB и AC, соответственно.
Заметим, что тогда △APL=△AQL, так как
∠PAL=∠QAL ∠APL=∠AQL=90° AL−общая сторона этих треугольников.
Значит AP=AQ и LP=LQ, откуда AL⊥PQ.
(очевидно, что A и L лежат по разные относительно прямой PQ).
Заметим, что тогда точка L1− симметричная точке L− относительно прямой PQ лежит на луче LA, а так же L1 лежит на описанной окружности △ABC, тогда L1=A. Откуда AP=AQ=QL=PL⟹AQLP− квадрат.
Тогда ∠A=90°.
Далее рассмотрим середину BC− точка O. Пусть Z,Y−середины AB и AC, соответственно, тогда Z,Y проекции точки O на прямые AB и AC, соответственно. Обозначим точку X такую, что X и O симметричны относительно YZ.
Заметим, что BZ=YO=XY CY=ZO=XZ ∠YXZ=∠YOZ=∠YAZ=90°
Тогда XYZA−вписанный, откуда ∠XYA=∠XZA
Следовательно △XYC=△BZX⟹∠ZXB=∠XCY, но из условия ∠BXC=∠BAC=∠YXZ=90°⟹∠ZXB=∠YXC, поэтому ∠XCY=∠YXC⟹YC=XY=AZ⟹AB2=AC2 ⟹AB=AC.
Допустим AB=AC и ∠A=90°. Примем обозначения как в условии, и пусть D1 и D симметричны относительно PQ. Докажем, что D1−лежит на описанной окружности △ABC.
Заметим, что BP=DP=D1P, откуда P−центр описанной окружности BDD1, тогда ∠BD1D=∠BPD2=45°, аналогично ∠CD1D=45°, откуда ∠BD1C=∠BD1D+∠CD1D=90°=∠BAC, откуда следует требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.