Processing math: 31%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл


ABC үшбұрышын ғажайып деп атайық, егер келесі шарт орындалса: D нүктесі — BC қабырғасындағы кез келген нүкте болсын, ал P және Q нүктелері — D нүктесінің сәйкесінше AB және AC түзулеріне түсірілген проекциялар табандары; онда D нүктесіне PQ-ға қарағандағы симметриялы нүкте, ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатса. ABC үшбұрышының ғажайып үшбұрыш екенін тек A=90 және AB=AC болғанда, және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
4 года 1 месяца назад #

Допустим треугольник ABCзамечательный.

Пусть ALбиссектриса в ABC, а P и Q проекции точки L на AB и AC, соответственно.

Заметим, что тогда APL=AQL, так как

PAL=QAL \angle APL=\angle AQL=90° AL- \text{общая сторона этих треугольников.}

Значит AP=AQ и LP=LQ, откуда AL\bot PQ.

(очевидно, что A и L лежат по разные относительно прямой PQ).

Заметим, что тогда точка L_1- симметричная точке L- относительно прямой PQ лежит на луче LA, а так же L_1 лежит на описанной окружности \triangle ABC, тогда L_1=A. Откуда AP=AQ=QL=PL\implies AQLP- квадрат.

Тогда \angle A=90°.

Далее рассмотрим середину BC- точка O. Пусть Z,Y-середины AB и AC, соответственно, тогда Z,Y проекции точки O на прямые AB и AC, соответственно. Обозначим точку X такую, что X и O симметричны относительно YZ.

Заметим, что BZ=YO=XY CY=ZO=XZ \angle YXZ=\angle YOZ=\angle YAZ=90°

Тогда XYZA-вписанный, откуда \angle XYA=\angle XZA

Следовательно \triangle XYC=\triangle BZX\implies \angle ZXB=\angle XCY, но из условия \angle BXC=\angle BAC=\angle YXZ=90°\implies \angle ZXB=\angle YXC, поэтому \angle XCY=\angle YXC\implies YC=XY=AZ\implies \frac{AB}{2}=\frac{AC}{2} \implies AB=AC.

  2
4 года 9 месяца назад #

Допустим AB=AC и \angle A=90°. Примем обозначения как в условии, и пусть D_1 и D симметричны относительно PQ. Докажем, что D_1-лежит на описанной окружности \triangle ABC.

Заметим, что BP=DP=D_1P, откуда P-центр описанной окружности BDD_1, тогда \angle BD_1D=\dfrac{\angle BPD}{2}=45°, аналогично \angle CD_1D=45°, откуда \angle BD_1C=\angle BD_1D+\angle CD_1D=90°=\angle BAC, откуда следует требуемое.