Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл


ABC үшбұрышын ғажайып деп атайық, егер келесі шарт орындалса: D нүктесі — BC қабырғасындағы кез келген нүкте болсын, ал P және Q нүктелері — D нүктесінің сәйкесінше AB және AC түзулеріне түсірілген проекциялар табандары; онда D нүктесіне PQ-ға қарағандағы симметриялы нүкте, ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатса. ABC үшбұрышының ғажайып үшбұрыш екенін тек A=90 және AB=AC болғанда, және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
4 года 1 месяца назад #

Допустим треугольник ABCзамечательный.

Пусть ALбиссектриса в ABC, а P и Q проекции точки L на AB и AC, соответственно.

Заметим, что тогда APL=AQL, так как

PAL=QAL APL=AQL=90° ALобщая сторона этих треугольников.

Значит AP=AQ и LP=LQ, откуда ALPQ.

(очевидно, что A и L лежат по разные относительно прямой PQ).

Заметим, что тогда точка L1 симметричная точке L относительно прямой PQ лежит на луче LA, а так же L1 лежит на описанной окружности ABC, тогда L1=A. Откуда AP=AQ=QL=PLAQLP квадрат.

Тогда A=90°.

Далее рассмотрим середину BC точка O. Пусть Z,Yсередины AB и AC, соответственно, тогда Z,Y проекции точки O на прямые AB и AC, соответственно. Обозначим точку X такую, что X и O симметричны относительно YZ.

Заметим, что BZ=YO=XY CY=ZO=XZ YXZ=YOZ=YAZ=90°

Тогда XYZAвписанный, откуда XYA=XZA

Следовательно XYC=BZXZXB=XCY, но из условия BXC=BAC=YXZ=90°ZXB=YXC, поэтому XCY=YXCYC=XY=AZAB2=AC2 AB=AC.

  2
4 года 9 месяца назад #

Допустим AB=AC и A=90°. Примем обозначения как в условии, и пусть D1 и D симметричны относительно PQ. Докажем, что D1лежит на описанной окружности ABC.

Заметим, что BP=DP=D1P, откуда Pцентр описанной окружности BDD1, тогда BD1D=BPD2=45°, аналогично CD1D=45°, откуда BD1C=BD1D+CD1D=90°=BAC, откуда следует требуемое.