Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл
Комментарий/решение:
Допустим треугольник ABC−замечательный.
Пусть AL−биссектриса в △ABC, а P и Q проекции точки L на AB и AC, соответственно.
Заметим, что тогда △APL=△AQL, так как
∠PAL=∠QAL \angle APL=\angle AQL=90° AL- \text{общая сторона этих треугольников.}
Значит AP=AQ и LP=LQ, откуда AL\bot PQ.
(очевидно, что A и L лежат по разные относительно прямой PQ).
Заметим, что тогда точка L_1- симметричная точке L- относительно прямой PQ лежит на луче LA, а так же L_1 лежит на описанной окружности \triangle ABC, тогда L_1=A. Откуда AP=AQ=QL=PL\implies AQLP- квадрат.
Тогда \angle A=90°.
Далее рассмотрим середину BC- точка O. Пусть Z,Y-середины AB и AC, соответственно, тогда Z,Y проекции точки O на прямые AB и AC, соответственно. Обозначим точку X такую, что X и O симметричны относительно YZ.
Заметим, что BZ=YO=XY CY=ZO=XZ \angle YXZ=\angle YOZ=\angle YAZ=90°
Тогда XYZA-вписанный, откуда \angle XYA=\angle XZA
Следовательно \triangle XYC=\triangle BZX\implies \angle ZXB=\angle XCY, но из условия \angle BXC=\angle BAC=\angle YXZ=90°\implies \angle ZXB=\angle YXC, поэтому \angle XCY=\angle YXC\implies YC=XY=AZ\implies \frac{AB}{2}=\frac{AC}{2} \implies AB=AC.
Допустим AB=AC и \angle A=90°. Примем обозначения как в условии, и пусть D_1 и D симметричны относительно PQ. Докажем, что D_1-лежит на описанной окружности \triangle ABC.
Заметим, что BP=DP=D_1P, откуда P-центр описанной окружности BDD_1, тогда \angle BD_1D=\dfrac{\angle BPD}{2}=45°, аналогично \angle CD_1D=45°, откуда \angle BD_1C=\angle BD_1D+\angle CD_1D=90°=\angle BAC, откуда следует требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.