Эйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Қатарға 100 тиын тізіп шыққан. Сырт жағынан барлық тиындар бірдей, бірақ бір жерде қатарынан 50 жалған тиын жатыр (және жалған тиындар тек солар). Барлық шын тиындардың салмақтары бірдей, ал жалған тиындардікі әр түрлі, бірақ шын тиыннан жеңіл. Табақты таразды қолданып тек бір өлшеу жасау арқылы кемінде 34 шын тиынды табуға болады ма? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Можно.
Решение. Пронумеруем монеты слева направо числами от $1$ до $100$. Сравним монеты $17$ и $84$. Хотя бы одна из них — настоящая. Поэтому, если весы в равновесии, то обе монеты — настоящие; в этом случае настоящими будут $34$ монеты с номерами $1$--$17$ и $84$--$100$, так как $50$ фальшивых монет в этих промежутках не умещаются. Пусть теперь перевесила монета $17$. Тогда она — настоящая, а монета $84$ — фальшивая. Так как номера любых двух фальшивых монет отличаются не более чем на $49$, в этом случае наименьший номер фальшивой монеты не меньше $84-49 = 35$, то есть монеты $1$--$34$ обязательно настоящие. Если же перевесила монета $84$, аналогичные рассуждения показывают, что настоящими являются монеты $67$--$100$.