Областная олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс

Найдите все натуральные числа $n$, для которых в каждой вершине правильной $n$-угольной призмы можно записать число $1$ или ${-1}$ так, чтобы для любой из $n+2$ граней призмы произведение чисел, записанных в ее вершинах, было равно ${-1}$.

Комментарий/решение

Ответ:$n=4k, k\in N$

Чтобы произведение на грани было минус один, нужно, чтобы в этой грани было 1 или 3 отрицательные вершины. Если вять грань $(1; 1; 1;-1)$, то к ней совместимы три такие же грани. Основания тоже дадут в произведении минус один. Этим показано выполнимость при $n=4×1$; если к получившийся боковой стороне прицепить еще 4, то условие будет вновь выполнимо.

Ответ: $4k$.

Решение. Найдем произведение чисел на всех боковых гранях. Каждое число участвует дважды, значит оно равно $1$. С другой стороны оно равно $(-1)^n=>n$ четное. Найдем произведение всех чисел на двух основаниях. С одной стороны это $(-1)^2$, с другой это произведение чисел на каждой второй боковой грани, т.е. $(-1)^{n/2}=>n$ кратно $4$.

Пример строится повторением боковых граней $(1,1,1,-1)$.