Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс

В ящике находится 2003 черных шаров и 2004 белых. Из ящика извлекаются наугад 2 шара. Если их цвет оказывается одинаковым, то в ящик вместо вынутой пары опускается черный шар, если же цвета различны — то белый шар. Так происходит до тех пор, пока в ящике не останется один шар. Какого он цвета?

Комментарий/решение

Ответ :черный

Решение. Докажем, что шар будет черный. Сделаем это по индукции.

База : при количестве черных шаров $n=1$,имеем 1 черный шар и два белых.

1)если вытащить черный и белый шар, то вместо них положим белый. Но тогда в ящике будет лежать два шара белого цвета. Взамен положим черный. То есть получается, что последний шар черный

2)если же вытащить 2 белых шара, то взамен положим черный. Тогда в ящике будет лежать два черных шара. То есть последний шар черный.

Переход :пусть при $n=2k+1$,последний шар будет черным

Теперь проверим , выполнится ли условие при $n=2k+3$. Так как по нашему переходу после $2k+1$ черных шаров и $2k+2$ белых шаров осталсядет один черный шар,то можно заменить их на один черный шар. Итак, в ящике осталось 3 черных шара и 2 белых. Учитывая базу, откинул 1 черный и два белых шара,взамен них кладем 1 черный шар. Получаем 3 черных шара в ящике, то есть оставшиеся шар будет черный.

А это значит, и при $n=2\cdot 1001+1=2003$ последний оставшийся шар будет черным

При переходе не объясняется, что белый шар не может остаться в конце.

Решение: заметим, что после любого хода число белых шаров - четно, значит оно не может быть равно $1, \Rightarrow$ ответ: черный