Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 8 сынып

Жәшікте 2003 қара шар және 2004 ақ шар бар. Жәшіктен кездейсоқ 2 шар алынады. Егер олардың түстері бірдей болса, онда олардың орнына жәшікке қара түсті шарды салады, ал түстері әр түрлі болса ақ шар салады. Осылайша жәшікте бір шар қалғанша орындалады. Қалған шардың түсі қандай?

Комментарий/решение

Ответ :черный

Решение. Докажем, что шар будет черный. Сделаем это по индукции.

База : при количестве черных шаров $n=1$,имеем 1 черный шар и два белых.

1)если вытащить черный и белый шар, то вместо них положим белый. Но тогда в ящике будет лежать два шара белого цвета. Взамен положим черный. То есть получается, что последний шар черный

2)если же вытащить 2 белых шара, то взамен положим черный. Тогда в ящике будет лежать два черных шара. То есть последний шар черный.

Переход :пусть при $n=2k+1$,последний шар будет черным

Теперь проверим , выполнится ли условие при $n=2k+3$. Так как по нашему переходу после $2k+1$ черных шаров и $2k+2$ белых шаров осталсядет один черный шар,то можно заменить их на один черный шар. Итак, в ящике осталось 3 черных шара и 2 белых. Учитывая базу, откинул 1 черный и два белых шара,взамен них кладем 1 черный шар. Получаем 3 черных шара в ящике, то есть оставшиеся шар будет черный.

А это значит, и при $n=2\cdot 1001+1=2003$ последний оставшийся шар будет черным

При переходе не объясняется, что белый шар не может остаться в конце.

Решение: заметим, что после любого хода число белых шаров - четно, значит оно не может быть равно $1, \Rightarrow$ ответ: черный