Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 11 класс

Решите уравнение ${{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{r}}+{{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{r}}=14$ в рациональных числах.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $r_1=-4$, $r_2=4$.
Решение. Заметим, что $\sqrt {2 + \sqrt 3 } \cdot \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 1$. Следовательно, если ${{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{r}}=x$, то ${{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{r}=\dfrac{1}{x}}$, где $x \ne 0$. Получим уравнение: $x+\dfrac{1}{x}=14 \Rightarrow x^2-14x+1=0 \Rightarrow x_1=7 + 4\sqrt 3$, $x_2=7 - 4\sqrt 3 $. Заметим также, что \[{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^4} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 7 + 4\sqrt 3 ,\] \[{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^{ - 4}} = {\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^4} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = 7 - 4\sqrt 3 ,\] то есть $r_1=-4$, $r_2=4$.