Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 8 сынып

$A$ және $B$ ойын ойнайды. Әр жүрісте кезегі келген ойыншы 31-ден кіші натурал сан айту керек, және ол сан бұрын айтылған сандардың ешқайсысына тең болмау керек және бұрын айтылған сандардың ешқайсысымен 1-ден үлкен ортақ бөлгіші болмау керек. Осыдан кейін жүріс келесі ойыншыға келеді. Кім жүріс жасай алмайды, сол ұтылады. $A$ бастайды. Қай ойыншыда ұтыс стратегиясы бар?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. У игрока $A$.
Решение. Приведем стратегию игрока $A$, по которой он может выиграть. Первым своим ходом он называет число 30. Тогда $B$ не может назвать четные числа, числа делящиеся на 3 и на 5. Поэтому $B$ может назвать только одно число из множества $\{1,7,11,13,17,19,23,29\}$. Заметим, что все эти числа попарно взаимно просты. Поэтому игроки $A$ и $B$ будут выбирать числа только из этого множества, не препятствуя выбору других чисел из этого множества. Так как в этом множестве 8 чисел, то игрок $A$ возьмет последнее число.