Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $A$ төбесінен жүргізілген медиана мен биссектриса осы үшбұрыштың $BH$ биіктігін тең үш бөлікке бөле алады ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Не могут.
Допустим, могут. Отметим на высоте $BH$ такие точки $F$ и $G$, что $BF = FG = GH = BH/3$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $K$. Из треугольника $ABH$ по свойству биссектрисы имеем $BK/KH = AB/AH > 1$, откуда $K = G$. Значит, медиана $AM$ треугольника $AB$C проходит через точку $F$, и потому середина $M$ стороны $BC$ лежит на отрезке $BL$, где $FL \parallel AC$. Но это невозможно, так как по теореме Фалеса $BL/BC = BF/BH = 1/3$.