Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, I тур дистанционного этапа

Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Если $16a-9b = 0$, утверждение задачи очевидно. Далее считаем, что $16a-9b \ne 0$.
Положим $d = \mbox{НОД}(a, b)$, и пусть $a = dm$, $b = dn$. Тогда $ab = d^2mn = c^2$. Поскольку числа $m$ и $n$ взаимно просты, в их разложения на простые множители все простые числа входят в чётных степенях. Поэтому $m$ и $n$ — квадраты натуральных чисел: $m = u^2$, $n = v^2$.
Пусть $d > 1$. Тогда ${|16a-9b|} = d{|((4u)^2-(3v^2))|} = {d(4u+3v)|(4u-3v)|}$. Это составное число, поскольку $d > 1$ и $4u+3v > 1$.
Пусть $d = 1$. Тогда ${|16a-9b|} = {(4u+3v)}{|(4u-3v)|}$. Если ${|4u-3v|} \ne 1$, всё доказано. Иначе $4u-3v = \pm 1$, то есть $4u = 3v \pm 1$. По условию $$16(a+b) = 16f^2 = 16u^2+16v^2 = (3v \pm 1)^2+16v^2 = 25v^2 \pm 6v+1.$$ Но от числа $25v^2 = (5v)^2$ до ближайших соседних квадратов ${(5v \pm 1)^2}$ расстояние минимум $(5v)^2 - (5v-1)^2 = 10v-1$, что больше, чем $6v+1$. Поэтому получается, что число $(4f)^2 = 16f^2$ не является квадратом натурального числа — противоречие. Итак, случай $4u - 3v = \pm 1$ невозможен, что и завершает доказательство.