Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

$AXD$, $BXY$ және $DYC$ үшбұрыштарының аудандары сәйкесінше 5, 4 және 3 болатындай етіп $ABCD$ тіктөртбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларынан сәйкес $X$ және $Y$ нүктелері таңдап алынған. $DXY$ үшбұрышының ауданын табыңдар.

Комментарий/решение

Получим

$AD \cdot AX=10$

$BY \cdot BX=8$

$(AD-BY) \cdot (AX+BX)=6$

Выражая из первых двух соответственные стороны , подставляя в третье , получаем $(\dfrac{10}{AX}-BY) \cdot (AX+\dfrac{8}{BY})=6$

$AX\cdot BY=x$ , получим $\dfrac{80}{x}-x=4$ , решая уравнение находим $x= 2(\sqrt{21}-1)$

Тогда площадь $S_{DXY} = S_{ABCD}-(5+4+3) = AD \cdot (AX+BX)-12= 2+x = 2\sqrt{21}$