Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

$u$ санының бүтін бөлігін $\left[ u \right]$ деп белгілейік. Яғни, $\left[ u \right]$ — $u$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. $\left[ x+\dfrac{1}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{3}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{5}{6} \right]=\left[ x \right]+\left[ x+\dfrac{2}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{4}{6} \right]$ теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіз.

Комментарий/решение

$$ \left[ x+\frac{1}{6} \right] +\left[ x+\frac{3}{6} \right] +\left[ x+\frac{5}{6} \right]=\left[ x \right]+\left[ x+\frac{2}{6} \right]+\left[ x+\frac{4}{6} \right]$$

$$ШЕШІМІ:$$

ТОЖДЕСТВО ЭРМИТА: $$[nx]= \left[ x \right]+\left[ x+\frac{1}{n} \right]+...+\left[ x+\frac{n-1}{n} \right],\forall n \in N$$

$$ 2\cdot \left( \left[ x+\frac{1}{6} \right] +\left[ x+\frac{3}{6} \right] +\left[ x+\frac{5}{6} \right] \right)=\underbrace {\left[ x \right]+\left[ x+\frac{1}{6} \right]+\left[ x+\frac{2}{6} \right] +\left[ x+\frac{3}{6} \right] +\left[ x+\frac{4}{6} \right] +\left[ x+\frac{5}{6} \right]}$$

$$ 2\cdot \left( \left[ x+\frac{1}{6} \right] +\left[ x+\frac{3}{6} \right] +\left[ x+\frac{5}{6} \right] \right)=[6x]$$

$$ 2\cdot \left( [x]+\left[ x+\frac{1}{6} \right] +\left[ x+\frac{2}{6} \right]+\left[ x+\frac{3}{6} \right] +\left[x+\frac{4}{6}\right]+\left[ x+\frac{5}{6} \right] \right)=[6x]+2\cdot \left( [x]+\left[x+\frac{1}{3} \right]+ \left[x+\frac{2}{3} \right] \right)$$

$$\Rightarrow [6x]=2[3x]$$

$$ t=3x \Rightarrow [2t]=2[t]$$

Мынадай функцияны қарастырайық: $ f(t)= [2t]-2[t]$ Бұл функция үшін мынадай теңдік орындалады: $f(t+1)=f(t)$ Яғни бастапқы теңдеуді $t \in [0,1)$ жартылай интервалында қарастырсақ жеткілікті . Егер $ [t]=0$ болса, онда [2t]=0. Бұдан

$$ 0\leq 2t <1 \Rightarrow 0 \leq t < \frac{1}{2}$$

Шешімге периодын қосамыз: $$ n \leq t < n +\frac{1}{2}, n\in Z$$

$$t=3x \Rightarrow \frac{n}{3}\leq x < \frac{2n+1}{6} , n \in Z$$

$$ЖАУАБЫ: x\in \left[\frac{n}{3};\frac{2n+1}{6}\right), n\in Z$$

Жауабы қате. $n=4$ болғанда $x\in \left[\frac{4}{3};\frac{3}{2}\right)$ болады да, $x=1,\!2$ санын алсақ, есеп шарты орындалмайды.

$ \frac{4}{3}= 1,333333 ....$ cондықтан $x=1,2$ деп ала алмайсыз. Жауап дұрыс))

Шешуін Латех коды:

1) Координатты түзуде әрбір $[a;b]$ аралығын $(a,b\in \mathbb{Z})$ алдымен 10 тең бөлікке бөлейміз. Мысалы, $[-1;0]$ және $[0;1]$ аралықтарынан бастаймыз. Сондай-ақ, $x = -1$, $- \frac{9}{10}$, ..., $-\frac{1}{10}$, $0$ және $x = \frac{1}{10}$, $\frac{2}{10}$, ..., $1$ деп алайық. $x$ – бұл мәндерінен іріктеп берілген теңдеудің түбірлерін іздестірсек, $x = -1$, $- \frac{2}{10}$, $- \frac{3}{10}$, $- \frac{6}{10}$, $- \frac{9}{10}$, $0$, $\frac{1}{10}$, $\frac{4}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{8}{10}$, $1$ мәндері теңдеудің түбірлері болады. Қарастырылған аралықтарда теңдеудің оң және теріс түбірлерінің саны бірдей, яғни барлығы $10 + 1$ түбірі бар. Егер кезекті аралықтарда теңдеудің түбірлерін дәл осылай анықтасақ, онда әр тиісті аралық сайын табылған түбірлердің кез – келгенінің мәні $\pm 1$ – ге өзгереді.

2) Енді жоғарыда қарастырылған алғашқы екі аралықтың әрқайсысын 6 тең бөлікке (аралыққа) бөлеміз. Әрбір 6 тең аралықтың шеткі нүктелеріне сәйкес сандарды жазайық. Демек, $x = 0$, $\pm \frac{1}{6}$, $\pm \frac{2}{6}$, $\pm \frac{3}{6}$, $\pm \frac{4}{6}$, $\pm \frac{5}{6}$, $\pm 1$.

Іріктеу жолымен табатын болсақ, $x = 0$, $\pm \frac{2}{6}$, $\pm \frac{4}{6}$, $\pm 1$ теңдеудің түбірлері болады. Бұл бөлуде де оң және теріс түбірлер саны тең және әр аралық сайын түбірлер мәндерінің өсуі мен кемуі $\pm \frac{1}{3}$ - ге тең.

Әр топта оң және теріс түбірлер болатындай етіп 10 тең бөлікке байланысты түбірлерді жұптап 5 топқа бөліп жазайық:

\[(-1;1), \left(- \frac{2}{10}; \frac{8}{10}\right), \left(- \frac{3}{10}; \frac{7}{10}\right), \left(- \frac{6}{10}; \frac{4}{10}\right), \left(- \frac{9}{10}; \frac{1}{10}\right).\]

6 тең бөліктен шығатын түбірлер $\left(- \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)$, $\left(- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)$, $\left(- \frac{3}{3}; \frac{3}{3}\right)$.

Енді теңдеудің барлық шешімдерін жоғарыда табылған дербес түбірлерді пайдаланып, ықшамды түрде ортақ формулалар арқылы жалпы түрде жазайық:

Жауабы:

1) $x = n - \frac{1}{5}$, $x = n - \frac{3}{10}$, $x = n - \frac{3}{5}$, $x = n - \frac{9}{10}$; $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x = \frac{1}{3} n$, $n \in \mathbb{Z}$.